حل تمرین صفحه 106 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 106 - تمرین 3 این تمرین به مفهوم **قرینه بردار** نسبت به محورها و مبدأ می‌پردازد. قرینه یک بردار، برداری است که در یک یا چند ویژگی (راستا، جهت، اندازه) با بردار اصلی رابطه مشخصی دارد. ### 1. تعیین مختصات بردار $$\vec{AB}$$: ابتدا مختصات نقاط $$A$$ و $$B$$ را از روی شکل مشخص می‌کنیم: * نقطه شروع: $$A = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$$ * نقطه پایان: $$B = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}$$ مختصات بردار $$\vec{AB}$$ (از شروع به پایان) از فرمول زیر به دست می‌آید: $$\vec{AB} = \text{نقطه پایان} - \text{نقطه شروع}$$ $$\vec{AB} = \begin{bmatrix} 1 - 4 \\ 5 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix}$$ **مختصات بردار $$\vec{AB}$$ برابر است با $$\begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix}$$**. --- ### 2. قرینه بردار $$\vec{AB}$$ نسبت به محور طول‌ها ($x$): وقتی برداری را نسبت به **محور طول‌ها** (محور $$x$$) قرینه می‌کنیم، مؤلفه افقی ($x$) **بدون تغییر** می‌ماند و مؤلفه عمودی ($y$) **علامتش عوض** می‌شود (قرینه می‌شود). * قرینه $$\vec{AB}$$ نسبت به محور $$x$$: $$\begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \end{bmatrix}$$ **مختصات قرینه بردار $$\vec{AB}$$ نسبت به محور $x$ برابر است با $$\begin{bmatrix} -3 \\ -4 \end{bmatrix}$$**. --- ### 3. قرینه بردار $$\vec{AB}$$ نسبت به مبدأ مختصات: وقتی برداری را نسبت به **مبدأ مختصات** قرینه می‌کنیم، **علامت هر دو مؤلفه** ($x$ و $y$) **عوض می‌شود** (هر دو قرینه می‌شوند). * قرینه $$\vec{AB}$$ نسبت به مبدأ: $$\begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -(-3) \\ -(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}$$ **مختصات قرینه بردار $$\vec{AB}$$ نسبت به مبدأ برابر است با $$\begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}$$**. **نکته:** قرینه یک بردار نسبت به مبدأ، دارای **همان اندازه و راستا** است، اما **جهت** آن کاملاً **مخالف** بردار اصلی است (که در واقع همان بردار قرینه است که در صفحات قبل خواندید).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 106 - تمرین 4 برای نوشتن مختصات هر بردار، باید **نقطه شروع** و **نقطه پایان** آن را روی دستگاه مختصات مشخص کنیم و سپس حرکت افقی ($x$) و حرکت عمودی ($y$) را محاسبه کنیم. اگر نقطه شروع، **مبدأ مختصات** ($$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$) باشد، مختصات بردار همان مختصات نقطه پایان آن است. ### 💡 مختصات بردار = $\begin{bmatrix} \text{حرکت افقی} \\ \text{حرکت عمودی} \end{bmatrix}$ --- ### ⬅️ شکل سمت چپ (بردارها در ربع‌های مختلف): همه بردارها از **مبدأ** ($$O = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$) شروع شده‌اند، بنابراین مختصات بردارها همان مختصات نقطه پایان آن‌هاست. * **بردار A (آبی):** * $$x$$: 2 واحد به راست. * $$y$$: 4 واحد به بالا. * $$\vec{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$$ * **بردار B (صورتی):** * $$x$$: 3 واحد به راست. * $$y$$: 2 واحد به پایین ($$-2$$). * $$\vec{B} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$$ * **بردار C (سبز-آبی):** * $$x$$: 4 واحد به چپ ($$-4$$). * $$y$$: 1 واحد به پایین ($$-1$$). * $$\vec{C} = \begin{bmatrix} -4 \\ -1 \end{bmatrix}$$ * **بردار D (نارنجی):** * $$x$$: 3 واحد به چپ ($$-3$$). * $$y$$: 3 واحد به بالا. * $$\vec{D} = \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \end{bmatrix}$$ --- ### ⬆️ شکل سمت راست (بردارها روی محورها): باز هم همه بردارها از مبدأ ($$O$$) شروع شده‌اند. * **بردار A (آبی):** * $$x$$: 0 (حرکت افقی ندارد). * $$y$$: 3 واحد به بالا. * $$\vec{A} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$$ * **بردار B (صورتی):** * $$x$$: 4 واحد به راست. * $$y$$: 0 (حرکت عمودی ندارد). * $$\vec{B} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}$$ * **بردار C (سبز-آبی):** * $$x$$: 0 (حرکت افقی ندارد). * $$y$$: 3 واحد به پایین ($$-3$$). * $$\vec{C} = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \end{bmatrix}$$ * **بردار D (نارنجی):** * $$x$$: 4 واحد به چپ ($$-4$$). * $$y$$: 0 (حرکت عمودی ندارد). * $$\vec{D} = \begin{bmatrix} -4 \\ 0 \end{bmatrix}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 106 - تمرین 5 این تمرین درباره **جمع بردارها** است. وقتی چند بردار متوالی را طی می‌کنیم (از $$A$$ به $$B$$ و از $$B$$ به $$C$$)، بردار نهایی که ما را از نقطه شروع ($$A$$) به نقطه پایان ($$C$$) می‌رساند، **بردار حاصل جمع** یا **بردار برآیند** نامیده می‌شود. ### 💡 قاعده جمع بردارها: بردار حاصل جمع دو بردار متوالی (مانند $$\vec{AB}$$ و $$\vec{BC}$$) برابر است با جمع مؤلفه‌های افقی و جمع مؤلفه‌های عمودی آن‌ها: $$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$$ $$\vec{AC} = \begin{bmatrix} x_{\vec{AB}} + x_{\vec{BC}} \\ y_{\vec{AB}} + y_{\vec{BC}} \end{bmatrix}$$ ### 1. پیدا کردن مختصات بردار حاصل: ما می‌خواهیم بردار $$\vec{AC}$$ را پیدا کنیم: * بردار اول: $$\vec{AB} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$$ * بردار دوم: $$\vec{BC} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}$$ $$\vec{AC} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}$$ $$\vec{AC} = \begin{bmatrix} 2 + (-1) \\ 4 + 4 \end{bmatrix}$$ $$\vec{AC} = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \end{bmatrix}$$ **پاسخ:** با **بردار $$\begin{bmatrix} 1 \\ 8 \end{bmatrix}$$** می‌توانستیم مستقیماً از $$A$$ به $$C$$ حرکت کنیم. این بردار، بردار برآیند دو حرکت متوالی است. ### 2. (اضافی) پیدا کردن مختصات نقطه C: اگر بخواهیم نقطه پایان ($$C$$) را نیز پیدا کنیم: نقطه شروع + بردار = نقطه پایان $$\text{نقطه } C = \text{نقطه } A + \vec{AC}$$ $$\begin{bmatrix} x_C \\ y_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} x_C \\ y_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 1 \\ -2 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 6 \end{bmatrix}$$ نقطه $$C$$ در مختصات $$\begin{bmatrix} 0 \\ 6 \end{bmatrix}$$ قرار دارد.